By Anton Deitmar (auth.)

​In diesem Lehrbuch wird der Stoff einer dreisemestrigen Anfängervorlesung zur research in einer bisher nicht gekannten Prägnanz dargeboten ohne dass die Verständlichkeit der sprachlichen Darstellung dadurch vernachlässigt wird. Das Buch bietet so eine umfassende Vollständigkeit des Stoffes, die ihres Gleichen sucht.

Die Inhalte decken die in einer heutigen Bachelor-Vorlesung zum Thema üblichen Themen ab: Ein- und mehrdimensionale Differential- und Integralrechnung, gewöhnliche Differentialgleichungen, Maß- und Integrationstheorie, Differentialformen und der Satz von Stokes. Darüber hinaus sind Kapitel über metrische Räume und allgemeine mengentheoretische Topologie enthalten.

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Zwei konvergente Folgen an → a und bn → b haben genau dann denselben Grenzwert, wenn an − bn eine Nullfolge ist. Beweis. Seien a und b die Grenzwerte der Folgen, so gilt a − b = limn an − limn bn = limn (an − bn ). Nun ist a = b gleichbedeutend mit a − b = 0 und dies ist gleichbedeutend damit, dass an − bn gegen Null geht. 23 (Quotient konvergenter Folgen). Seien an → a und bn → b konvergente Folgen und sei b 0. Dann gibt es eine naturliche ¨ Zahl n0 , so an a ¨ jedes n ≥ n0 und die Folge bn gegen b konvergiert.

3) Zu jedem a ∈ K gibt es ein b ∈ K mit a + b = 0. 4) a + b = b + a Kommutativit¨at Man sagt zu diesen Gesetzen auch: (K , +) ist eine abelsche Gruppe. 2) Es gibt ein Element 1 in K so dass a1 = a gilt. 3) Zu jedem a in K {0} gibt es ein b ∈ K mit der Eigenschaft ab = 1. neutrales Element {0} inverses Element KAPITEL 2. 4) ab = ba Kommutativit¨at Insbesondere ist dann (K {0}, ·) eine abelsche Gruppe. K3 Distributivgesetz a(b + c) = ab + ac. Diese Axiome sind nun in dem Sinne vollst¨andig, dass sich alle ublichen ¨ Rechenregeln, die nur die Addition und Multiplikation betreffen, aus ihnen herleiten lassen.

Ist x 0, kann man durch x dividieren und erh¨alt a1 + · · · + as xs−1 = b1 + · · · + bt xt−1 fur ¨ jedes x 0. Mit x = n1 wird das 1 1 1 1 a1 + a2 · · · + as s−1 = b1 + b2 · · · + bt t−1 . n n n n KAPITEL 3. FOLGEN UND REIHEN 54 Nach dem letzten Beispiel konvergieren beide Seiten fur ¨ n → ∞ und es folgt a1 = b1 . Dieses Argument l¨asst sich nun wiederholen und liefert die Behauptung. 20. Sei f (x) = a0 + a1 x + . . ad xd eine Polynomfunktion. Der Grad einer Polynomfunktion f 0 ist die hochste Potenz k ≥ 0 mit ak 0, ¨ also etwa grad(x2 + 1) = 2.

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