By Marc A. Nieper-Wißkirchen

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Example text

Ist x ∈ / p, so ist (q : x) = q. Beweis. 1. Die erste und die dritte Aussage folgt sofort aus den Definitionen. 2. Sei x ∈ / q. Für y ∈ (q : x) folgt dann xy ∈ q, also y ∈ p. Damit ist q ⊂ (q : x) ⊂ p. Durch Wurzelziehen folgt (q : x) = p. 3. Sei weiter yz ∈ (q : x) mit x ∈ / q. Sei y ∈ / p. Aus xyz ∈ q folgt dann xz ∈ q, also z ∈ (q : x). 13. Sei a ein Ideal in einem kommutativen Ring A. Ein Ausdruck von a n als endlicher Schnitt a = qi primärer Ideale qi heißt Primärzerlegung von a. Sind die i=1 √ qi paarweise verschieden und gilt qi ⊃ qj für alle i, so heißt die Primärzerlegung j=i minimal.

5. Sei die exakte Sequenz 0 → Z → − Z mit φ(x) = 2x von Z-Moduln gegeben. φ⊗idN Sei weiter der Z-Modul N := Z/(2) gegeben. Das Tensorprodukt 0 → Z⊗N −−−−→ Z⊗N der Sequenz mit N ist nicht exakt, denn für alle x ⊗ y ∈ Z ⊗ N ist (φ ⊗ idN )(x ⊗ y) = 2x ⊗ y = x ⊗ 2y = x ⊗ 0 = 0, also φ ⊗ idN = 0. Allerdings ist Z ⊗ N nicht der Nullmodul. 3 Flachheit Sei A ein kommutativer Ring. Sei N ein A-Modul. 6. Der A-Modul N heißt flach, falls für jede exakte Sequenz E von A-Moduln auch die tensorierte Sequenz E ⊗ N exakt ist.

2. Es ist [x] ∈ ker φ ⇐⇒ φ([x]) = 0 ⇐⇒ φ(x) = 0 ⇐⇒ x ∈ ker φ ⇐⇒ [x] ∈ ker φ/M . 11. Es existiert ein kanonischer Isomorphismus M/ ker φ → im φ von AModuln. 12. Untermoduln von Moduln M, N, L, . . bezeichnen wir häufig mit Strichen M , N , L , . .. 13. Quotientenmoduln von Moduln M, N, L, . . bezeichnen wir häufig mit Doppelstrichen M , N , L , . .. 1 Summe und Schnitt Sei A ein Ring. Sei M ein A-Modul. Sei (Mi )i∈I eine Familie von Untermoduln von M . Mit Mi ⊂ M bezeichnen wir die Teilmenge aller endlichen Summen der Form xi i∈I i∈I mit xi ∈ Mi .