By Jörg Bewersdorff

Dieses Buch ist eine leicht verständliche Einführung in die Algebra, die den historischen und konkreten Aspekt in den Vordergrund rückt. Der rote Faden ist eines der klassischen und fundamentalen Probleme der Algebra: Nachdem im sixteen. Jahrhundert allgemeine Lösungsformeln für Gleichungen dritten und vierten Grades gefunden wurden, schlugen entsprechende Bemühungen für Gleichungen fünften Grades fehl. Nach quickly dreihundertjähriger Suche führte dies schließlich zur Begründung der so genannten Galois-Theorie: Mit ihrer Hilfe kann festgestellt werden, ob eine Gleichung mittels geschachtelter Wurzelausdrücke lösbar ist. Das Buch liefert eine gute Motivation für die moderne Galois-Theorie, die den Studierenden oft so abstrakt und schwer erscheint. In dieser Auflage wurde ein Kapitel ergänzt, in dem ein alternativer, auf Emil Artin zurückgehender Beweis des Hauptsatzes der Galois-Theorie wiedergegeben wird. Dieses Kapitel kann speedy unabhängig von den anderen Kapiteln gelesen werden.

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Eine Erklärung für diese Tatsache dürfte für Cardano allerdings schwierig gewesen sein, da dies letztlich den Gebrauch von negativen Zahlen voraussetzt, um die Gleichung in eine Form zu bringen, bei der auf der rechten Gleichungsseite nur die Null steht. (x – xn) zerlegt werden kann. Liegt eine solche Zerlegung in so genannte Linearfaktoren vor, sind offensichtlich alle Lösungen bekannt. Aber auch umgekehrt, so Descartes, erhält man mit jeder Lösung einen Teilschritt hin zu einer Zerlegung in Linearfaktoren.

2. Die kubische Gleichung x3 + 6x – 20 = 0 besitzt x = 2 als Lösung. Wie ergibt sich diese Lösung aus der Cardanischen Formel? 11 Girolamo Cardano (siehe Fußnote 5), Chapter I. 2 Casus irreducibilis – die Geburtsstunde der komplexen Zahlen Versucht man, die kubische Gleichung x3 = 8x + 3 mit Hilfe der Cardanischen Formel zu lösen, so scheint die Formel zu versagen. Dies liegt aber keineswegs daran, dass die Gleichung unlösbar ist, denn x = 3 ist offensichtlich eine Lösung. 1. Wie schon die Aufgabenstellung des ersten Kapitels ist auch diese Gleichung als „klassisch“ zu bezeichnen, da sie aus Cardanos Buch Ars magna stammt12.

Wir haben bereits gesehen, dass die Funktionswerte f (z) des Polynoms außerhalb eines genügend großen Kreises betragsmäßig den Wert | f (0)| = |a0| übersteigen. Das Minimum der reellwertigen Funktion | f (z)| ist daher innerhalb des Kreises zu finden und wird dort – so ein Satz über die Extremwerte von stetigen, reellwertigen Funktionen (mehrerer Veränderlicher) – an einer Stelle angenommen, die wir mit z0 bezeichnen. Eine Entwicklung des Polynoms nach z0 besitzt die Form f ( z ) = b0 + bm ( z − z 0 ) m + bm+1 ( z − z 0 ) m+1 + K + bn ( z − z 0 ) n , wobei der Index m ≥ 1 so gewählt ist, dass bm ≠ 0 ist.

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